Mathematics of Artificial Intelligence in hindi

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Artificial Intelligence (AI) mathematics   को समझना महत्वपूर्ण है ताकि विभिन्न AI Algorithms कैसे काम करते हैं, यह समझा जा सके। यह अध्याय आमतौर पर AI तकनीकों के अंतर्निहित प्रमुख गणितीय अवधारणाओं को कवर करता है, जिनमें शामिल हैं:

• Linear Algebra
• Probability and Statistics
• Calculus
• Optimization
• Discrete Mathematics

आइए इन क्षेत्रों में से प्रत्येक का संक्षिप्त अवलोकन करें:

1. Linear Algebra

Linear Algebra डेटा प्रतिनिधित्व और हेरफेर को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से AI में। इसमें वेक्टर, मैट्रिक्स, और टेंसर शामिल होते हैं, जो कई AI एल्गोरिदम में मौलिक होते हैं।

Vectors:

वेक्टर संख्या की एक सूची है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु या दिशा का प्रतिनिधित्व करती है। उदाहरण के लिए, एक 2D वेक्टर को [x, y] के रूप में दर्शाया जा सकता है।

Matrices:

मैट्रिक्स संख्याओं की एक द्वि-आयामी श्रृंखला है, जो डेटा, रूपांतरणों, या समीकरणों के सिस्टम का प्रतिनिधित्व कर सकती है। उदाहरण के लिए, एक मैट्रिक्स A एक वेक्टर x को मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करके दूसरे वेक्टर y में बदल सकता है, y = Ax।

Tensors:

टेंसर वेक्टर और मैट्रिक्स को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करते हैं। इन्हें गहन शिक्षा में व्यापक रूप से बहु-आयामी डेटा जैसे चित्र, वीडियो, आदि को प्रबंधित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

मुख्य क्रियाओं में मैट्रिक्स गुणन, डिटरमिनेंट गणना, ईजेनवेक्टर और ईजेनवैल्यू, और मैट्रिक्स उलटा शामिल हैं।

Problem 1: Principal Component Analysis (PCA)

समस्या: 2D स्थान में डेटा बिंदु दिए गए हैं: (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)। PCA प्रदर्शन करें और मुख्य घटक दिशा खोजें।

समाधान: PCA का उपयोग डेटा की विमाओं को कम करने के लिए किया जाता है जबकि जितना संभव हो उतना परिवर्तनशीलता बनाए रखता है। यहाँ एक कदम-दर-कदम दृष्टिकोण है:

1. डेटा को केंद्रित करें: डेटासेट से प्रत्येक चर का औसत घटाएं।
   • x मानों का औसत: (2+3+4+5)/4 = 3.5
   • y मानों का औसत: (3+4+5+6)/4 = 4.5
   • केंद्रित डेटा:

• import numpy as np
• data = np.array([[2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6]])
• mean = np.mean(data, axis=0)
• centered_data = data – mean
• cov_matrix = np.cov(centered_data, rowvar=False)
• eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(cov_matrix)
• principal_component = eigenvectors[:, –1] # Largest eigenvector
• print(principal_component)

2. Probability and Statistics

Probability और Statistics अनिश्चितता का मॉडल बनाने, डेटा से निष्कर्ष निकालने, और अवलोकनों से सीखने के उपकरण प्रदान करते हैं।

Probability:

यह घटनाओं की संभावना से संबंधित है। प्रमुख अवधारणाओं में संभाव्यता वितरण, सशर्त संभाव्यता, और बेयस प्रमेय शामिल हैं।

Problem 1: Probability of an Event समस्या: एक मशीन लर्निंग मॉडल के पास एक छवि को सही तरीके से बिल्ली के रूप में वर्गीकृत करने की 70% संभावना है और इसे गलत तरीके से वर्गीकृत करने की 30% संभावना है। यदि 10 छवियों को वर्गीकृत किया जाता है, तो इनमें से ठीक 7 छवियों को सही तरीके से वर्गीकृत करने की संभावना क्या है?

Python Implementation:

• from scipy.stats import binom
• n = 10
• k = 7
• p = 0.7
• probability = binom.pmf(k, n, p)
• print(probability)

Statistics:

यह डेटा एकत्रित करने, विश्लेषण करने, और व्याख्या करने से संबंधित है। महत्वपूर्ण अवधारणाओं में औसत, विचलन, मानक विचलन, और परिकल्पना परीक्षण शामिल हैं।

Probability और Statistics मशीन लर्निंग एल्गोरिदम, विशेष रूप से सुपरवाइज़्ड लर्निंग में, जहां हम डेटा के आधार पर पूर्वानुमान लगाते हैं, की नींव हैं।

3. Calculus

Calculus हमें परिवर्तनों को समझने में मदद करता है और AI में अनुकूलन समस्याओं के लिए महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से न्यूरल नेटवर्क्स के प्रशिक्षण में।

Differential Calculus:

यह इस बात पर केंद्रित है कि मात्रा कितनी तेजी से बदलती हैं। डेरिवेटिव किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को मापता है। मशीन लर्निंग में, ग्रेडिएंट्स (डेरिवेटिव) का उपयोग ग्रेडिएंट डिसेंट एल्गोरिदम में लोस फ़ंक्शन्स को न्यूनतम करने के लिए किया जाता है।

Integral Calculus:

यह मात्रा के संचय और वक्रों के नीचे के क्षेत्रों से संबंधित है। यह ज्यादातर मशीन लर्निंग एल्गोरिदम में सीधे उपयोग नहीं किया जाता है लेकिन कुछ क्षेत्रों जैसे संभाव्यत्मक तर्क और अनुकूलन में महत्वपूर्ण हो सकता है।

Problem 1: Gradient Descent

समस्या: दिए गए लागत फ़ंक्शन J(θ)=θ2+4θ+4J(\theta) = \theta^2 + 4\theta + 4J(θ)=θ2+4θ+4, ग्रेडिएंट डिसेंट विधि का उपयोग करके लागत फ़ंक्शन को न्यूनतम करने वाले $\theta$ के मान को खोजें जिसमें लर्निंग दर 0.1 है। $\theta =0$ के प्रारंभिक अनुमान से शुरू करें।

समाधान: ग्रेडिएंट डिसेंट $\theta$ पैरामीटर को सूत्र का उपयोग करके अद्यतन करता है:

θ=θ−α∂J∂θ\theta = \theta – \alpha \frac{\partial J}{\partial \theta}θ=θ−α∂θ∂J​

जहां $\alpha$ लर्निंग दर है।

कास्ट फ़ंक्शन का डेरिवेटिव निकालें:

∂J∂θ=2θ+4\frac{\partial J}{\partial \theta} = 2\theta + 4∂θ∂J​=2θ+4

$\theta$ और लर्निंग दर $\alpha$ को प्रारंभ करें: $\theta =0,\alpha =0.1$

Python Implementation:

• def gradient_descent(learning_rate=0.1, iterations=10):
• theta = 0
• for i in range(iterations):
•   gradient = 2 * theta + 4
•   theta = theta – learning_rate * gradient
•   print(f”Iteration {i+1}: theta = {theta}“)
• return theta
• theta_min = gradient_descent()
• print(f”Minimum theta: {theta_min}“)

4. Optimization

Optimization संभव समाधानों के सेट में से सबसे अच्छा समाधान खोजने के बारे में है। AI में, हम अक्सर किसी मॉडल के लिए सबसे अच्छे पैरामीटर खोजने के लिए एक लागत फ़ंक्शन या उद्देश्य फ़ंक्शन का अनुकूलन करते हैं।

Gradient Descent

Gradient Descent एक सामान्य अनुकूलन एल्गोरिदम है जो एक लागत फ़ंक्शन को न्यूनतम करने के लिए पैरामीटरों को समायोजित करता है। इसका उपयोग मुख्य रूप से मशीन लर्निंग और आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस में किया जाता है। इसका लक्ष्य मॉडल के पैरामीटर को इस प्रकार समायोजित करना है कि भविष्यवाणी किए गए मूल्यों और वास्तविक मूल्यों के बीच का अंतर कम हो जाए।

Convex Optimization

Convex Optimization में उत्तल फंक्शनों का अनुकूलन शामिल होता है, जिनमें यह गुण होता है कि कोई भी स्थानीय न्यूनतम एक वैश्विक न्यूनतम होता है, जिससे अनुकूलन आसान हो जाता है। यह अनुकूलन का एक उपक्षेत्र है जो एक उत्तल सेट पर एक उत्तल फ़ंक्शन को न्यूनतम करने (या अधिकतम करने) की समस्या से संबंधित है। यह मशीन लर्निंग और आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस जैसे क्षेत्रों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गारंटी देता है कि कोई भी स्थानीय न्यूनतम भी एक वैश्विक न्यूनतम होता है, जिससे अनुकूलन प्रक्रिया सरल हो जाती है।

5. Discrete Mathematics

Discrete Mathematics of Artificial Intelligence (AI) mathematics कि उन संरचनाओं से संबंधित है जो मौलिक रूप से विविक्त (डिस्क्रीट) होती हैं बजाय निरंतर (कंटिन्यूस) होने के। इसमें शामिल हैं:

1. Graph Theory

Graph Theory उन ग्राफ़ का अध्ययन करता है जो वस्तुओं के बीच युग्मित संबंधों को मॉडल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गणितीय संरचनाएँ हैं। ग्राफ़ में वर्टिस (नोड्स) और एजेस (कनेक्शन्स) होते हैं। उदाहरण के लिए, सोशल नेटवर्क एनालिसिस में, लोग नोड्स होते हैं और उनकी मित्रताएं एजेस होती हैं। इसमें ग्राफ़ का अध्ययन शामिल है, जो वस्तुओं के बीच युग्मित संबंधों को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। ग्राफ़ नोड्स (या वर्टिस) और एजेस से बने होते हैं, और वे नेटवर्क डेटा (जैसे, सोशल नेटवर्क्स, वेब पेज लिंक) के अध्ययन के लिए मौलिक होते हैं।

2. Combinatorics

Combinatorics वस्तुओं के सेटों का अध्ययन है और इन सेटों की गिनती, व्यवस्थित करने और संयोजन करने के तरीके हैं। यह एल्गोरिदम की जटिलता, डेटा संरचनाओं की दक्षता और सामान्य गणितीय गणनाओं को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

3. Logic

Logic गणितीय बयान की सत्यता का अध्ययन करता है और एल्गोरिदम डिजाइन और सत्यापन में मौलिक है। उदाहरण के लिए, तार्किक संचालन (जैसे AND, OR, NOT) और क्वांटीफायर्स (जैसे FOR ALL, EXISTS) का उपयोग करके सॉफ़्टवेयर और हार्डवेयर सिस्टम में सत्यापन की समस्याओं को हल किया जा सकता है।

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